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Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 12 (Gauthier-Villars 1889)(fr)(600dpi)(T)(401s)_M_.djvu |
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Size 7.5Mb Date Oct 21, 2005 |
de rapprochements sont toujours instructifs et ne peuvent qu'être très
utiles aux progrès de l'Analyse; on peut même dire qu'ils lui sont né-
nécessaires dans l'état où elle est aujourd'hui ; car, à mesure que cette
science s'étend et s'enrichit de nouvelles méthodes, elle devient aussi
plus compliquée, et l'on ne saurait la simplifier qu'en généralisant et
réduisant, tout à la fois, les méthodes qui peuvent être susceptibles de
.ces avantages...
La position de leurs axes, dans' un instant
quelconque, par rapport aux axes immobiles des £, yj, Ç, ne dépendra
que des coefficients £', £", £'\ yj', yj", En effet, si l'on fait b = o,
c = o, ce qui donne
et, par conséquent,
il est facile de voir que les coefficients \\ v\\ £' sont les cosinus des
angles que l'axe des a fait avec les axes des £, yj, Ç...
Or, si l'on ajoute ensemble les carrés des trois premières, on a
le premier membre peut se mettre sous cette forme
donc, par les équations de condition de l'article 3, cette équation se
réduit à
i = /r5, d'où * — dtj...
On aura ensuite la position de cet axe par les deux angles <o et <|>;
mais, pour le rapporter aux axes fixes des £, yj, Ç, il suffit de consi-
considérer qu'ayant pris Taxe des c pour l'axe de rotation, on a, pour tous
les points de cet axe, a = o, h = o; donc, si l'on désigne par £, y], \
les coordonnées qui répondent au point où c est égal à i, et qui sont
en même temps les cosinus des angles que l'axe de rotation fait avec
les trois axes des £, yj, Ç, on a, par les formules de l'article 8,
F dL - dM n dN
t^~ry ^Tr' Kz=zl='
acp ay acp
En effet, ces valeurs de \> yj, \ rendent nulles celles de leurs diffé-
différentielles, comme on le voit par les formules de l'article 1, ce qui
est la propriété de tous les points de l'axe instantané de rotation, et
par laquelle nous avons déterminé cet axe dans la Section III de la
Ire Partie...
leurs valeurs en ^, a>, <p de l'ar-
l'article 7, on a, après quelques réductions,
dP = sin cp sina> dty -f- cos9 é/gj,
^/Q = cos cp sin w dty — sin 9 6/w,
û?R — ^9 -h cos w rf^...
Par le moyen de ces formules, on peut représenter d'une ma-
manière fort simple les variations des coordonnées £, yjf C» lorsqu'on veut
considérer à la fois le changement de situation du système autour de
son centre et le changement des distances mutuelles des points du sys-
système...
Mais, pour cela, il
faut distinguer deux cas, l'un quand le corps est tout k fait libre,
l'autre quand il est assujetti à se mouvoir autour d'un point fixe...
Ayant fait cette réduction dans la formule générale, on y égalera
pareillement à zéro chacun des coefficients des variations restantes; et
les équations qui en proviendront, jointes à celles de condition don-
données, suffiront pour résoudre le problème...
Pour rendre la solution la plus simple qu'il est possible, il est à
propos de faire usage des expressions de d£, dr\9 dX> de l'article 14, les-
lesquelles donnent, en faisant da = o, db = o, de = o,
<flri+ dn*-h dt*— (cdQ — bdR)*-h (adR — crfP)*-*- (bdP — a
— ibcdQdR — lacdPdR — 2abdPdQ...
Je substituerai maintenant ces expressions de/?, q, r dans la valeur
de T, et je ferai en sorte, au moyen des trois arbitraires dont je viens
de parler, que les trois termes qui contiendraient les produits ocy% œz,
yz disparaissent de la valeur de T, en sorte que cette quantité se
réduise à cette forme
Mais, pour rendre le calcul plus simple, je substituerai immédia-
immédiatement dans cette formule les valeurs de oo9 y, z en p, y, r, et, compa-
comparant ensuite le résultat avec l'expression de T, je déterminerai non
seulement les arbitraires dont il s'agit, mais aussi les inconnues a, C,
y...
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