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Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 09 (Gauthier-Villars 1881)(fr)(600dpi)(T)(424s)_M_.djvu |
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Size 6.0Mb Date Apr 23, 2002 |
ses coordonnées a et b en oc, y, y' et y", on a évidemment une équation
du second ordre, d'où il paraît s'ensuivre que l'équation en x et y de
la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires, tandis
que la génération de cette courbe par le développement de la courbe
donnée n'admet qu'une seule constante arbitraire dépendant du point
où commence le développement...
Je
dis quelque petite que la quantité i puisse être, car une quantité est
censée devenir un maximum ou un minimum lorsqu'elle parvient au
terme de son accroissement ou de sa diminution, de manière qu'en
deçà et au delà de ce terme elle se trouve moindre dans le cas du
maximum ou plus grande dans le cas du minimum que dans le même
terme...
Supposons que x devienne a? ■+ i; cette fonction deviendra
V(oc-hi), et il est clair que Y (oc -+- i) — Y (oc) sera alors la portion de
l'espace correspondante a la partie i de l'axe et terminée par les deux
ordonnées /(oc) et/(x-hi) répondantes aux abscisses x et.%^-h/...
Ainsi, l'équation d'une courbe étant donnée, pour avoir
l'expression de l'aire, c'est-à-dire la quadrature de la courbe, il n'y
aura qu'à chercher la fonction primitive de celle qui représente l'or-
l'ordonnée, et l'on pourra ajouter à cette fonction primitive une constante
arbitraire (n° 49, Ire Partie), qu'on déterminera par la condition que
l'expression de l'aire devienne nulle au point où l'on voudra la faire
commencer...
En effet, ayant mené la corde qui joindra les deux extrémités de
l'arc, il est aisé de voir que Tune des deux tangentes rencontrera les
ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde et que l'autre
les rencontrera sous un angle moins aigu, et que, par conséquent, la
corde sera moindre que la première de ces tangentes et plus longue
que la seconde; donc celle-ci sera, à plus forte raison, moindre que
Tare de la courbe...
Suivant le Calcul différentiel, les fonctions dérivées s' et y seraient
exprimées par y- et -~- ' et l'équation
deviendrait
ds ~ sjdx- -h dy'1,
formule connue des rectifications...
Ainsi, en appliquant aux courbes a double courbure les mêmes
notions des différents ordres de contact des courbes ordinaires, on en
conclura que les deux premières conditions détermineront un contact
du premier ordre, que les deux suivantes détermineront un contact du
second ordre; et ainsi de suite...
que le cercle dont il s'agit ait un contact du premier ordre avec toute
courbe à double courbure dont x,y, z seront les coordonnées, y et z
étant données en fonction de x, et, si l'on y joint les deux dernières,
on aura les conditions nécessaires pour un contact du second ordre,
c'est-à-dire pour que le cercle devienne oscillateur de la courbe...
et m, n, d comme données en x, puisque y et z sont censées données
en x, ces mêmes expressions représentent alors les coordonnées de la
courbe des centres...
Si ces
quantités ne sont pas constantes, elles détermineront le plan tangent
de la courbe, et, lorsque l'équation précédente aura lieu, les rayons
osculateurs formeront une surface courbe développable...
Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux
coordonnées x-\-i, y-ho; l'ordonnée perpendiculaire z deviendra
f(oc-hi,y-\-o)...
En général,
*=f[*>r)
étant l'équation de la surface proposée et
r = F[p,q)
celle d'une surface donnée, si l'on veut que ces deux surfaces aient un
point commun qui réponde aux coordonnées x, y, z, il faudra que
l'équation
ait lieu aussi en faisant p = x, q=y9 r = z9 ce qui donnera
Ensuite, si l'on considère les points des deux surfaces qui répondent
aux mêmes coordonnées x-hi ety-\-o, et qu'on nomme D la distance
entre l'un et l'autre, c'est-à-dire la partie de l'ordonnée qui se trou-
trouvera comprise entre les deux surfaces, il est visible qu'on aura
D=/(.r-f- /', j+ o) — F(.r -h /', ty-f- o)...
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